基于残差修正的神经算子加速无限维贝叶斯反问题
数值分析
2023-05-03 v2 机器学习
数值分析
统计计算
机器学习
摘要
我们探索使用神经算子（即函数空间之间非线性映射的神经网络表示）来加速由非线性参数偏微分方程（PDEs）支配模型的无限维贝叶斯反问题（BIPs）。神经算子近年来备受关注，因其能够利用有限参数样本下的 PDE 解作为训练数据，逼近由 PDE 定义的参数到解的映射。若将以表征后验所需的大量 PDE 求解替换为训练好的神经算子求值，BIPs 的计算成本可大幅降低。然而，通过减少训练中神经算子的逼近误差来降低所得 BIP 解的误差，可能颇具挑战且不可靠。我们给出一个先验误差界结果，表明某些 BIPs 对神经算子的逼近误差可能是病态的，从而在训练中导致难以达到的精度要求。为可靠部署神经算子于 BIPs 中，我们考虑一种提升神经算子性能的策略，即基于 PDE 残差求解线性变分问题来修正已训练神经算子的预测。我们证明，带误差修正的已训练神经算子可实现其逼近误差的二次缩减，同时在模型由高度非线性 PDE 支配时仍保持后验采样的显著计算加速。该策略应用于两个基于非线性反应–扩散问题与超弹性材料变形的 BIPs 数值算例。我们证明，使用训练神经算子得到的两个 BIPs 的后验表示经误差修正后获得大幅且一致的增强。
引用
@article{arxiv.2210.03008,
title = {Residual-based error correction for neural operator accelerated infinite-dimensional Bayesian inverse problems},
author = {Lianghao Cao and Thomas O'Leary-Roseberry and Prashant K. Jha and J. Tinsley Oden and Omar Ghattas},
journal= {arXiv preprint arXiv:2210.03008},
year = {2023}
}