锐角三角形的 reptiling 与空间填充曲线

一个 $r$-gentiling 是将一个形状剖分为 $r \geq 2$ 个均与原始形状相似的部分。一个 $r$-reptiling 是一个所有部分互相全等的 $r$-gentiling。通过递归地应用 gentiling，加上定义部分顺序的规则，可以获得遍历原始形状内所有点的顺序。我们说这样的遍历是面连续空间填充曲线，如果在任意递归层级，任意一组连续部分的并集的内部是连通的——即连续部分必须总是沿一条边相遇。最著名的是，等腰直角三角形允许一个 2-reptiling，它构成了面连续的 Sierpinski 空间填充曲线的基础；许多其他直角三角形也允许 reptiling 和 gentiling，它们也产生面连续空间填充曲线。在本研究中，我们调查哪些锐角三角形允许非平凡的 reptiling 和 gentiling，以及这些是否能构成面连续空间填充曲线的基础。我们推导了锐角三角形（有时也是钝角三角形）的 reptiling 和 gentiling 的若干性质，得出以下结论：任何基于锐角三角形 reptiling 的面连续空间填充曲线都无法构造。