通过受限顶点分裂生成球面多四角剖分以及平衡类的可约性

四角剖分是嵌入球面上的图，使得每个面由长度为4的游走围成，允许平行边。所有四角剖分都可以通过称为顶点分裂的图操作序列从长度为2的路P_2生成。我们定义分裂S的度D，并考虑受限分裂S_{i,j}，其中i ≤ D ≤ j。已知S_{2,3}生成所有简单四角剖分。这里我们研究S_{1,2}、S_{1,3}、S_{1,1}、S_{2,2}、S_{3,3}的情况。首先我们证明分裂S_{1,2}恰好是单调的，即结果图包含原图作为子图。然后我们证明它们定义了P_2之外的一组非平凡祖先，并且每个四角剖分都有唯一的祖先。我们的结果在凸体力学平衡的背景下有直接的几何解释。平衡的拓扑对应于一个2-着色四角剖分，其独立集大小为s、u。数字s、u标识了Várkonyi和Domokos与物体相关的主要平衡类。我们证明S_{1,1}和S_{2,2}都从一组有限的祖先生成所有主要类，这与他们的几何结果密切相关。如果除了s和u之外，还考虑四角剖分的完整拓扑，我们得到更精细的次要平衡类。正如Domokos、Lángi和Szabó最近所示，可以创建无限制分裂的几何对应物来生成所有次要类。我们的结果表明，S_{1,2}只能从同一祖先生成有限范围的次要类。由单调分裂定义的额外祖先的几何解释表明，最小多面体在这个过程中起关键作用。我们还给出了关于次要类和多四角剖分数量的计算结果。