有限与无限方形图的组合与几何

方形图最初定义为所有内面均为四边形（即 4-环）且所有内顶点（即不与外面关联的顶点）度数大于 3 的有限平面图。有限方形图的平面对偶由单位圆盘的一个无三角形弦图确定，该弦图也可视为双曲平面中的无三角形线排列。这种表示可推广到顶点度数有限且球体为有限方形图的无限平面图。在代数上，有限方形图是对偶为有限圆形分裂系统的中位数图。因此，方形图处于两种对偶性（代数对偶和几何对偶）的交叉点，从而适用于多种组合解释和结构刻画。借助这些结果以及圆图的 5-可着色性定理，我们证明每个方形图都可以等距嵌入到五个树的笛卡尔积中。当针对无立方体及其他有限障碍的中位数图进行表述时，这一嵌入结果也可推广到无限情形，无需参考平面嵌入且无基数限制。此外，我们展示了一类可嵌入到三个树乘积中的方形图，并刻画了那些可嵌入到仅两个树乘积中的方形图。最后，有限方形图具有许多不适用于任意中位数图的算法特性。例如，我们表明有限方形图的中位数生成集可以在多项式时间内计算，而中位数图的相应问题（不出所料）是 NP 难的。