蜿蜒线的计数与Masur-Veech体积

蜿蜒线（meander）是平面中一条直线与一个简单闭曲线（或2-球面上两个简单闭曲线）横截相交的拓扑构型。蜿蜒线可追溯到H. Poincaré，并自然出现在数学、理论物理和计算生物学的各个领域（特别是，它们提供了聚合物折叠的模型）。蜿蜒线的计数是一项重要的开放问题。具有2N个交点的蜿蜒线数量随N增长呈指数增长，但关于精确渐近性的长期问题仍遥不可及。我们表明，如果额外固定蜿蜒线的拓扑类型（或最小弧的总数），情况会变得更容易处理。然后我们能够推导出当N趋于无穷时蜿蜒线数量的简单渐近公式。我们还计算了通过沿共同赤道识别两个弧系统（每个半球上一个）的端点而在球面上得到简单闭曲线的渐近概率。我们采用的新工具基于将蜿蜒线解释为具有一个水平和一个垂直柱面的平方瓦曲面。证明结合了最近关于零亏格亚纯二次微分模空间的Masur-Veech体积的结果，以及我们的新观察：整数二次微分的水平和垂直分界线图渐近不相关。本文施加的额外组合约束产生了显式多项式渐近。