R^d上索伯列夫空间的再生核及其在嵌入常数与易处理性中的应用

标准索伯列夫空间 $W^s_2(\mathbb{R}^d)$，其中 $s$ 和 $d$ 为任意满足 $s>d/2$ 的正整数，具有再生核 $$K_{d,s}(x,t)=\int_{\mathbb{R}^d}\frac{\prod_{j=1}^d\cos\left(2\pi\,(x_j-t_j)u_j\right)} {1+\sum_{0<|\alpha|_1\le s}\prod_{j=1}^d(2\pi\,u_j)^{2\alpha_j}}\,{\rm d}u$$ 对于所有 $x,t\in\mathbb{R}^d$，其中 $x_j,t_j,u_j,\alpha_j$ 是 $d$ 元 $x,t,u,\alpha$ 的分量，且 $|\alpha|_1=\sum_{j=1}^d\alpha_j$，其中 $\alpha_j$ 为非负整数。我们得到了再生核 $K_{1,s}$ 的更显式形式，并找到了核 $K_{d, \infty}$ 的闭式解。在已知 $K_{d,s}$ 形式的基础上，我们给出了关于索伯列夫空间 $W^s_2(\mathbb{R}^d)$ 与 $L_\infty(\mathbb{R}^d)$ 之间最佳嵌入常数，以及具有任意概率密度的积分的强多项式易处理性的应用。我们证明了最佳嵌入常数在 $d$ 上是指数级小的，而使用 $n$ 个函数值的算法的最坏情况积分误差在 $d$ 上也是指数级小的，且衰减至少像 $n^{-1/2}$。这在绝对误差准则的最坏情况设定下给出了强多项式易处理性。