辫群 B_3 与 SL(2,Z) 的表示

我们给出了辫群 B_3 在任何代数闭域上维数 $\leq 5$ 的简单表示的完全分类。特别地，我们证明了一个 d 维简单表示 $\rho: B_3 \to GL(V)$ 在同构意义下由生成元像的特征值 $\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_d$ 确定（当 d=2,3 时），以及对于 d=4 取 $\delta=\sqrt{\det \rho(\sigma_1)}$ 或对于 d=5 取 $\delta=\sqrt[5]{\det \rho(\sigma_1)}$ 的一个选择（当 d=4,5 时）。我们还证明了只要特征值与 $\delta$ 不是某些显式给出的多项式 $Q_{ij}^{(d)}$ 的根，此类表示就存在。此时，我们构造了生成元在 V 上作用的矩阵。作为我们技巧的一个应用，我们还得到了 Deligne 关于例外李群表示维数公式的一些非平凡 q-版本。