自然数集中的表示函数

设 $\mathbb{N}$ 为所有非负整数的集合。对于 $S\subseteq \mathbb{N}$ 和 $n\in \mathbb{N}$，令 $R_S(n)$ 表示方程 $n=s+s'$ 的解的个数，其中 $s, s'\in S$ 且 $s<s'$。在本文中，我们确定了所有满足以下条件的集合 $A$ 和 $B$ 的结构：$A\cup B=\mathbb{N}\setminus\{r+mk:k\in\mathbb{N}\}$，$A\cap B=\emptyset$，且对于每个正整数 $n$ 都有 $R_{A}(n)=R_{B}(n)$，其中 $m$ 和 $r$ 是两个整数，满足 $m\ge 2$ 且 $r\ge 0$。