齐次化中梯度场弱收敛序列 $L^\infty$ 范数的表示公式

我们研究了 $L^{\infty}$ 范数与具有可测系数的二阶散度型偏微分方程齐次化相关的梯度场弱收敛序列的复合。此处的系数序列被选取用于建模非均匀介质，并且是分段常数与高度振荡的。我们确定了局部表示公式，这些公式在精细相极限下提供了梯度场 $L^{\infty}$ 范数上极限的上界。这些局部表示公式由梯度场的弱极限与局部校正子问题表示。根据粗糙界面的存在情况，这些上界可能会发散。我们还考虑了层状微结构和充分光滑周期微结构的精细相极限。对于这些情况，我们能够为相关梯度场序列的 $L^\infty$ 范数极限提供显式的局部公式。对于对应于连续梯度周期微结构以及一般振荡系数序列的场，我们获得了下界的局部表示公式。这些表示公式被应用于最优材料设计问题。