图上的重复平均

Sourav Chatterjee、Persi Diaconis、Allan Sly 与 Lingfu Zhang 受 Ramis Movassagh 一个问题启发，重新研究了 Jean Bourgain 于1980年代初提出的一个过程。一个状态向量 $v \in \mathbb R^n$，以连通图 $G$ 的顶点标记，在离散时间步下按如下简单规则变化：每步随机选取一条边 $(i,j)$，并将 $v_i$ 与 $v_j$ 均替换为其平均值 $(v_i+v_j)/2$。易见每个顶点关联的值收敛到 $1/n$。问题在于，当 $v$ 初始化为标准基向量（在一个坐标上取1，其余均为0）时，在完全图 $K_n$ 的情形下，$v$ 在 $L^{1}$ 范数下 $\epsilon$-接近均匀有多快。他们已建立尖锐截断 $\frac{1}{2\log 2}n\log n + O(n\sqrt{\log n})$。我们的主要结果是证明 $\frac{(1-\epsilon)}{2\log2}n\log n-O(n)$ 是所有 $n$ 个节点连通图的一般下界。我们还得到了若干重要图族（包括星图、扩张图、哑铃图与圈图）的 $t_{\epsilon,1}$ 的尖锐量级。为建立结果，我们对该过程作了若干观察，例如最坏情况初始化总是一个标准基向量。我们的结果增添了 Aldous、Aldous 与 Lanoue、Quattropani 与 Sau、Cao、Olshevsky 与 Tsitsiklis 及其他人的工作体系。重新兴起的兴趣源于其与一个同 Google 优越性电路相关问题的类比。为证明主定理，我们采用了一个称为“增广熵函数”的概念，其可能在计算机科学与概率论界有独立意义。