Renyi 熵作为计数问题复杂度的度量

诸如确定有多少比特串满足给定布尔逻辑公式之类的计数问题众所周知是困难的。在许多情况下，即使获得近似计数也很困难。在此，我们提出量子信息理论中的常见概念——纠缠，可以作为精确或近似计数难度的标志。我们通过对通用可满足性问题的逻辑变量进行二分划分，定义并使用 Renyi 熵 S(q) 来量化纠缠。我们猜想 S(q\rightarrow 0) 提供了关于精确计数解难度的信息，而 S(q>0) 则指示了进行高效近似计数的可能性。我们通过采用矩阵计算方案数值求解大量均匀分布实例的#2SAT 问题来检验这一猜想。我们发现，在#2SAT 问题中，所有 Renyi 熵均随变量数量线性缩放；这与该问题既无已知精确高效算法也无已知近似高效算法的事实一致。然而，对于该问题的否定（析取）形式，当变量数量很大时，S(q\rightarrow 0) 呈线性缩放，而 S(q>0) 趋于零。这些结果与存在用于计数析取范式解的全多项式时间随机近似算法是一致的，并表明合取范式的高效算法可能不存在。