更新种群动力学及其永恒家族树

基于一个简单的对象，即取正整数值的独立同分布随机变量序列 $\{a_n\}_{n\in \mathbb{Z}}$，我们引入并研究了两种随机结构及其联系。第一种是种群动力学，其中每个个体在时刻 $n$ 出生并在时刻 $n+a_n$ 死亡。该动力学对应于一个 D/GI/$\infty$ 排队过程，其到达发生在整数时刻，服务时间由 $\{a_n\}_{n\in \mathbb{Z}}$ 给出。第二种是由随机映射 $f(n)=n+a_n$ 在 $\mathbb{Z}$ 上生成的有向随机图 $T^f$。仅假设 $\mathbb{E}[a_0]<\infty$ 和 $\mathbb{P}[a_0=1]>0$，我们证明在稳态下，该种群动力学是再生的，在每个再生历元处有一个个体存活。我们在该动力学中识别出一种单模结构。更确切地说，$T^f$ 是一棵单模有向树，其中 $f(n)$ 是 $n$ 的父节点。该树具有唯一的二端无穷路径。此外，$T^f$ 将整数分为两类：短暂整数，具有有限个各阶后代；以及成功整数，具有无限个后代。每个再生历元是一个成功个体，使得所有小于它的整数都是其某阶后代。短暂整数、成功整数和再生整数构成了 $\mathbb{Z}$ 上的平稳且混合的点过程。