松弛多体最优传输及相关渐近性

考虑了$\mathbb{R}^d$上概率测度上的优化问题，其中代价泛函涉及多边际最优传输。在$N$个相互作用粒子的模型（如密度泛函理论中）中，相互作用代价是排斥的，并由两点函数$c(x,y)=\ell(|x-y|)$描述，其中$\ell: \mathbb{R}_+ \to [0,\infty]$在无穷远处递减至零。由于在无穷远处可能出现质量损失，可能不存在解，因而有必要在子概率测度上松弛初始问题。本文刻画了松弛泛函，推广了\cite{bouchitte2020relaxed}的结果，并提出了一种对偶方法，可在对代价$\ell(r)$非常一般的假设下计算当$N\to\infty$时的$\Gamma-$极限。我们证明该极限与所谓直接能量的凸包一致。然后我们研究施加连续外部势时的极限优化问题。给出了显式例子下最小化子是概率测度或质量$<1$的条件。在最后一部分，我们研究小范围相互作用$\ell_N(r)=\ell(r/\varepsilon)$（$\varepsilon\ll 1$）的情形，并展示对偶方法如何也可用于确定当$\varepsilon\to 0$时极大量$N_\varepsilon$粒子的极限能量。