基于交换算符代数结构的量子最大割松弛与精确解

量子最大割（QMC）问题已成为设计局域哈密顿量问题近似算法的测试问题。本文利用 QMC 的代数结构，特别是量子最大割哈密顿量与对称群表示论之间的关系来研究该问题。本文的第一个主要贡献是将非交换平方和（ncSoS）优化技术扩展，给出量子最大割的一组新松弛层级。我们提出的层级基于对量子比特交换算符中多项式的优化。这与基于以泡利矩阵表示的多项式的“标准”量子 Lasserre 层级形成对比。为证明该层级的正确性，我们利用了由量子比特交换算符生成的代数的一个有限表示。该表示允许使用计算机代数技术来操作和简化以交换算符书写的多项式，并可能具有独立意义。令人惊讶的是，我们发现这一新层级的第 2 层在所有边数均匀、顶点数不超过 8 的图的 QMC 实例上数值精确（容差达 10^(-7)）。本文的第二个主要贡献是一个多项式时间算法，可（在精确算术下）计算某些图上 QMC 哈密顿量的最大本征值，包括可分解为团的符号组合的图。后者的一个特例是具有均匀边权的完全二部图，其精确解已由 Lieb 和 Mattis 的工作给出。我们使用对称群表示论的方法可视为 Lieb-Mattis 结果的推广。