片的相对弱开凸组合与散布 C$^*$-代数

我们证明：给定局部紧 Hausdorff 空间 $K$ 与紧 C$^*$-代数 $\mathcal{A}$，C$^*$-代数 $C(K, \mathcal{A})$ 满足闭单位球的每个片的凸组合都是闭单位球的相对弱开子集，当且仅当 $K$ 是散布的且 $\mathcal{A}$ 是有限维 C$^*$-代数的 $c_0$-和。我们引入并研究具有性质 $(\overline{\hbox{P1}})$ 的 Banach 空间，即：对 Banach 空间 $X$ 的单位球的每个片的凸组合 $C$ 及 $x\in C$，存在包含 $x$ 的相对弱开集 $W$，使得 $W\subseteq \overline{C}$。在一般 C$^*$-代数的情形下，我们获得该性质的刻画。事实上，C$^*$-代数具有性质 $(\overline{\hbox{P1}})$ 当且仅当它是散布的且具有有限维不可约表示。我们也给出了满足性质 $(\overline{\hbox{P1}})$ 的 Banach 空间的一些稳定性结果。作为这些结果的推论，我们证明实 $L_1$-预对 Banach 空间不包含 $\ell_1$ 的同构拷贝当且仅当它具有性质 $(\overline{\hbox{P1}})$。