不等式指数 Gini、Pietra 与 Kolkata 之间的关系：理论与数据分析

我们在此研究三种不等式指数，即 Gini ($g$)、Pietra ($p$) 和 Kolkata ($k$)，分别于 1912、1915 和 2014 年引入，均源于 1905 年提出的 Lorenz 函数 $L(x)$。Kolkata 指数（对应于补充 Lorenz 函数 $L_c(x) \equiv 1-L(x)$ 的固定点）给出最富裕的 $1-k$ 比例人口所拥有的财富比例 $k$（$k=0.8$ 对应 1896 年的帕累托 80-20 法则）。我们严格证明，尽管 Pietra 指数值 $p$ 应大于或等于 $2k-1$，但 Robin Hood 指数应严格等于最富裕的 $1-k$ 比例人口所拥有的财富剩余 $2k-1$。我们的 US IRS 收入数据（1983-2022）、印度 Bollywood 电影收入数据（1999-2024）以及诺贝尔奖得主（2020-2025）在经济学、物理学、化学和医学出版物中的引用不等式，清晰显示 $p/(2k -1)$ 永远大于 1，但偏差永不超过 5%。假设 Lorenz 函数具有简单解析形式，我们还推导出 $k = (1/2) + (3/8)g$ 对于较小 $g$ 值以及 $p/g = 3/4$ 的关系。然而，这些关系在 $g$ 或 $k$ 值较大时，与观察值相比会显著偏离。