正则化非单调子模最大化

本文对在各种约束下最大化正则化非单调子模函数进行了深入研究，即 $\max \{ g(A) - \ell(A) : A \in \mathcal{F} \}$，其中 $g \colon 2^\Omega \to \mathbb{R}_+$ 为非单调子模函数，$\ell \colon 2^\Omega \to \mathbb{R}_+$ 为归一化模函数，$\mathcal{F}$ 为约束集。尽管目标函数 $f := g - \ell$ 仍是子模的，但 $f$ 可能取负值这一事实使现有子模最大化方法无法为正则化子模最大化问题提供常数近似比。为克服该障碍，我们提出若干算法，可为最大化正则化非单调子模函数提供相对较弱的近似保证。更具体地，我们针对受拟阵约束的 $g - \ell$ 最大化松弛提出连续贪婪算法。随后，管道舍入过程可生成整解 $S$，使得 $\mathbb{E} [g(S) - \ell(S)] \geq e^{-1}g(OPT) - \ell(OPT) - O(\epsilon)$。此外，我们给出一种快得多的算法，用于在基数约束下最大化 $g - \ell$，其可利用 $O(\frac{n}{\epsilon^2} \ln \frac 1\epsilon)$ 次值预言查询输出满足 $\mathbb{E} [g(S) - \ell(S)] \geq (e^{-1} - \epsilon) g(OPT) - \ell(OPT)$ 的解 $S$。我们还考虑无约束最大化问题，并给出一种利用 $O(n)$ 次值预言查询可返回满足 $\mathbb{E} [g(S) - \ell(S)] \geq e^{-1} g(OPT) - \ell(OPT)$ 的解 $S$ 的算法。