关于非单调子模函数与线性函数之和的最大化

我们研究由 Bodek 和 Feldman [BF22] 定义的正则化无约束子模最大化（RegularizedUSM）问题。在该问题中，给定同一个基集 $\mathcal N$ 上的非单调非负子模函数 $f:2^{\mathcal N}\to \mathbb R_{\ge 0}$ 和线性函数 $\ell:2^{\mathcal N}\to \mathbb R$，目标是输出一个集合 $T\subseteq \mathcal N$ 以近似最大化总和 $f(T)+\ell(T)$。具体而言，若算法输出的集合 $T$ 满足 $\mathbb E[f(T)+\ell(T)]\ge \max_{S\subseteq \mathcal N}[\alpha \cdot f(S)+\beta\cdot \ell(S)]$，则称其为 RegularizedUSM 的 $(\alpha,\beta)$-近似。我们还研究了 $S$ 和 $T$ 受拟阵约束的情形，称之为正则化约束子模最大化（RegularizedCSM）。对于 RegularizedUSM 和 RegularizedCSM，我们分别针对非正 $\ell$、非负 $\ell$ 和无约束 $\ell$ 的情形给出了改进的 $(\alpha,\beta)$-近似算法。特别地，对于无约束 $\ell$ 的情形，我们首次为 RegularizedCSM 提供了非平凡的 $(\alpha,\beta)$-近似，并且我们对 RegularizedUSM 所得的 $\alpha$ 在所有 $\beta\in (0,1)$ 上优于 [BF22]。除近似算法外，我们还对所有上述情形给出了改进的不可近似性结果。特别地，我们证明了我们的算法对无约束 $\ell$ 的 RegularizedCSM 所得的 $\alpha$ 在 $\beta\ge \frac{e}{e+1}$ 时是紧的。我们还给出了在 $S$ 和 $T$ 受基数约束时最大化子模函数的 0.478-不可近似性，改进了 Gharan 和 Vondrak [GV10] 长期以来的 0.491-不可近似性结果。