跳跃扩散的正则随机流与动态规划原理

给定布朗运动$W$与取值于${\mathbb R}^d$的平稳泊松点过程$p$,我们针对涉及如下受控SDE的随机控制问题给出强形式下的动态规划原理(DPP):\begin{align} \label{ci1} \nonumber dX_{t}=\,&\,b(t, X_{t}, a_t) dt + \alpha \left(t, X_{t}, a_t \right) dW_t+ \! \! \int_{ |z| \le 1} g\left(X_{t-},t,z, a_t \right)\widetilde{N}_p\left(dt,dz\right) \\ & + \int_{ |z| >1 } f\left(X_{t-},t,z, a_t \right){N}_p\left(dt,dz\right), \quad \; X_s=x\in\mathbb{R}^d,\,0\le s \le t \le T. \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; (1) \end{align} 此处$N_p$[相应,$\widetilde{N}_p$]为与$p$关联的泊松[相应,补偿泊松]随机测度。我们考虑取值于闭凸集$C \subset {\mathbb R}^{l}$的任意可预测控制$a \in {\mathcal P}_T$。系数$b$、$\alpha$与$g$在$x$变量上满足线性增长与Lipschitz型条件,且在控制变量上连续。为证明值函数$v(s,x)=\sup_{a \in {\mathcal P}_T} \, \mathbb{E}\big[\int_{s}^{T}h\left(r,X_r^{s,x,a}, a_r\right)dr + j\left(X_T^{s,x,a}\right)\big]$的DPP(假设$h$与$j$有界且连续),我们建立了当系数独立于控制$a$时(1)的正则随机流的存在性。值得注意的是,即便在无大跳跃项即$f\equiv0$时(参见Kunita近期关于随机流的著作),该正则性结果也是新的。DPP的证明通过引入一种依赖于${\mathcal P}_T$中有限生成步进控制合适子类的方法得以完成。这些控制使我们能应用L. D. Brown与R. Purves的基本可测选择定理。我们认为这一新方法具有独立意义,并可被调整用于证明其他随机控制问题中出现的DPP。