非单位代数乘积的余积反思

向量空间 $A$ 上的余积被定义为满足余合性 $(\Delta\otimes\iota)\Delta=(\iota\otimes\Delta)\Delta$ 的线性映射 $\Delta:A\to A\otimes A$。我们使用 $\iota$ 表示恒等映射。如果 $G$ 为有限群且 $A$ 为该群上所有复函数的空间，则 $A$ 上的余积由 $\Delta(f)(p,q)=f(pq)$ 定义，其中 $p,q\in G$。我们将 $A\otimes A$ 与笛卡尔积 $G\times G$ 上的复函数识别。由 $G$ 中乘法的结合性可得余合性成立。不幸的是，有时这种余积概念并非最合适的选择。在本文中，我们考虑一个代数 $A$，不一定具有单位元，但具有非退化乘法。此时，余积是从 $A$ 到 $A\otimes A$ 的乘子代数 $M(A\otimes A)$ 的线性映射。不幸的是，$\Delta\otimes\iota$ 和 $\iota\otimes\Delta$ 这两个在 $A\otimes A$ 上定义的映射现在可能无法在乘子代数 $M(A\otimes A)$ 上定义。类似问题在我们希望为非单位代数定义有用余作用概念时也会出现。我们在另一篇论文中讨论这一问题。本文中呈现的并非所有结果都是全新的。我们提供了一些参考文献，这些文献中已处理了部分材料。然而，在原始文献中，结果总是未得到组织化的形式，我们希望在此改进。此外，本文还包括解决一些开放问题的若干方案以及一些更特殊的例子。最后，我们讨论了一些开放问题和可能的进一步研究。