将莫泽正方形填充问题归约至有界数量的正方形

被广泛称为莫泽正方形填充问题(Moser's Square Packing Problem)的问题要求找到最小面积 $A$，使得对于任意总面积为 $1$ 的正方形集合 $S$，存在一个面积为 $A$ 的矩形 $R$，其中 $S$ 中的正方形允许一种内部不交、轴平行的填充。该问题由 Moser 于 1966 年提出并至今未解。已知最佳下界 $\frac{2+\sqrt{3}}{3}\leq A$ 由 Novotný 给出，且 Platz 已证明其对至多 $11$ 个正方形充分；而 Hougardy 和 Ilhan 已确立 $A < 1.37$。在本文中，我们将莫泽正方形填充问题在如下意义下归约至一个有限正方形集合的问题：我们展示了如何计算一个自然数 $N$，使得只需确定对包含至多 $N$ 个总面积为 $1$ 的正方形的集合的 $A$ 值即可。