顶点在线 Ramsey 游戏的递归上界及其对超图 Ramsey 数的应用

经典的递归上界由 Erd\H{o}s 和 Rado 提出，用于超图 Ramsey 数，指出对于 $2 \leq k < s \leq t$，有 $$r_k(s,t) \leq 2^{\binom{r_{k-1}(s-1,t-1)}{k-1}}.$$ 2010 年，Conlon、Fox 和 Sudakov 引入了所谓的顶点在线 Ramsey 数 $\tilde{r}(s,t)$ 用于图，以对 $k=3$ 时的上界获得量化改进。在本文中，我们表明自然的超图推广 $\tilde{r}_k(s,t)$ 顶点在线 Ramsey 数满足改进的递归式 $$\tilde{r}_k(s,t) \leq 2^{(1+o(1))\tilde{r}_{k-1}(s-1,t-1)}.$$ 我们从中获得了若干推论，包括对超图 Ramsey 数最佳已知量化上界的低阶改进，以及对 Erd\H{o}s 和 Rado 以上递归界的改进。