从成对距离重构整数集

给定一组整数，可以轻易构建其成对距离集。我们考虑其逆问题：给定一组成对距离，寻找实现该成对距离集的整数集。这一问题出现在工程和应用物理的许多领域，并困扰研究人员超过 60 年。它是少数几个既未被证明是 NP-hard 也无法通过多项式时间算法求解的基础问题之一。是否可能实现唯一恢复仍然是一个未决问题。在该问题出现的许多实际应用中，整数集天然具有稀疏性（即整数间距足够大），而这一特性尚未得到探索。在本工作中，我们利用整数集的稀疏性质，开发了一种多项式时间算法；若稀疏度为 $O(n^{1/2-\eps})$，该算法能以任意高的概率从成对距离集中恢复整数集（至多相差线性平移和反转）。数值模拟验证了所提算法的有效性。