通过群稀疏优化寻找多项式方程组的稀疏解

本文研究寻找可能被噪声扰动的多项式方程组的稀疏解问题。特别地，我们展示了如何从导出的线性方程组的群稀疏解中恢复这些解。随后，考虑了两种寻找这些群稀疏解的方法。第一种方法基于凸松弛，导出了二阶锥规划公式，可利用有效的重加权技术增强稀疏性。对于该方法，我们在无噪声情形下推导了精确恢复最稀疏解的充分条件，并在有噪声情形下获得了稳定恢复结果。第二种方法虽然缺乏类似的理论分析，但提供了一种基于逐个添加群的贪心策略的计算效率更高的算法。与以往工作相比，所提出的方法能在极短的计算时间内恢复最稀疏解，同时在成功概率方面保持至少同等的精度。我们对这一概率进行了实证分析，以强调方法求解多项式方程组的能力与解的稀疏性之间的关系。