从 $n-1$ 张卡片重构 $K_r$ 计数的可重构性

Kelly 和 Ulam 的重构猜想指出，任意具有 $n\geq 3$ 个顶点的图 $G$ 均可由对所有 $v\in V(G)$ 的去标号子图 $G-v$ 的多重集 $\mathcal{D}(G)$ 重构。我们将 $\mathcal{D}(G)$ 称为 $G$ 的牌堆，将 $G-v\in \mathcal{D}(G)$ 称为 $G$ 的卡片。该猜想于 1940 年代提出，至今仍远未解决。为了更好地理解可重构性，越来越多的研究致力于理解 $G$ 的哪些性质可以从（可能由对手选取的）$k$ 张卡片的集合（其中 $k< n$）重构。在本文中，我们证明 $G$ 的团计数除一种团大小外均可从任意 $n-1$ 张卡片重构。我们推广了该结果：对平均度至多为 $3n/8-O(1)$ 的图，我们可以重构所有 $r$ 的 $K_r$ 计数；而对 $r\le \log_2 n$，我们可以为任意 $n$ 个顶点的图重构 $K_r$ 计数。