重排随机热方程：遍历性与 ${\mathcal P}({\mathbb R})$ 上的相关梯度下降
概率论
2024-06-11 v2
摘要
本文针对最近引入的一种在实数概率测度空间中的扩散（即重排随机热）进行了案例研究，该扩散求解一个在单位圆上对称化分位数函数集合中取值的随机偏微分方程。本贡献研究了受此噪声扰动的概率测度值流，并特别关注梯度流。这是通过引入一个从单位圆上随机变量集合到其自身的向量场，为重排随机热方程添加漂移项来实现的。当该流为梯度流时，该向量场可与平均场势函数的 Wasserstein 导数相一致。所得方程可视为一种具有无穷维公共噪声的 McKean-Vlasov 随机微分方程。本文给出了漂移项需满足的条件，在此条件下，解对于任意时间范围均唯一存在，并指数快速收敛至唯一平衡态。当漂移项由势函数导出时，随着噪声强度趋近于零，系统获得了亚稳态性质：证明了在特定的标度机制下，梯度下降在局部极小值附近停留的期望时间与有限维情形具有相同的量级。
引用
@article{arxiv.2403.16140,
title = {Rearranged Stochastic Heat Equation: Ergodicity and Related Gradient Descent on ${\mathcal P}({\mathbb R})$},
author = {François Delarue and William R. P. Hammersley},
journal= {arXiv preprint arXiv:2403.16140},
year = {2024}
}