生灭过程的 Ray-Knight 紧化

生灭过程是状态空间为 $\mathbb N$ 的连续时间马尔可夫链，其转移矩阵为标准矩阵，密度矩阵为给定的生灭矩阵。生灭过程唯一当且仅当 $\infty$ 为流入边界或自然边界。当 $\infty$ 既非流入也非自然边界时，文献中有两种途径获得所有生灭过程：其一为 Feller 于 1959 年提出的分析处理，其二为 Wang 于 1958 年完成的概率构造。本文给出利用 Ray-Knight 紧化研究生灭过程的另一种途径，该途径兼具上述分析与概率处理的优点。通过应用 Ray-Knight 紧化，每个生灭过程可修正为 $\mathbb N\cup \{\infty\}\cup\{\partial\}$ 上的 càdlàg Ray 过程，其为 Doob 过程或 Feller $Q$-过程。第二类中的每个生灭过程都有一个修正，其为 $\mathbb N\cup\{\infty\}\cup \{\partial\}$ 上的 Feller 过程。我们将推导其无穷小生成元的表达式，以解释其在 $\infty$ 处的边界行为。进一步，利用 killing 变换与 Ikeda-Nagasawa-Watanabe 的 piecing out，我们亦给出生灭过程的概率构造，该构造依赖于 Wang 与 Yang 在其工作（1992'）中引入的决定预解矩阵的三元组。