基于有理数取值与小素数的量子比特-量子三元与重比特-重三元秩-4/秩-6 猜想希尔伯特-施密特可分性概率比

我们实现了一种基于 Wishart-Laguerre 分布的程序——最近由 Życzkowski、Khvedelidze、Rogojin 和 Abgaryan 概述——用于生成关于希尔伯特-施密特（HS）测度的随机（复或实）$N \times N$ 秩 $k \leq N$ 密度矩阵。在复情形下，从维度为 $k \times k+ 2 (N-k)$ 的 Ginibre 矩阵 $A$ 开始，而在实情形下，采用维度为 $k \times k+1+ 2 (N-k)$ 的 Ginibre 矩阵 $B$。然后，将 $k \times k$ 乘积 $A A^{\dagger}$ 或 $B B^T$ 对角化——补零至 $N \times N$ 大小——并旋转，得到随机密度矩阵。对秩-4 重比特-重三元态实施该程序，在 8 亿次 Ginibre 矩阵实现中，发现 6,192,047 个可分，样本概率为 .00774006——暗示精确值 $\frac{387}{5000} =\frac{3^2 \cdot 43}{2^3 \cdot 5^4}=.0774$。对满秩重比特-重三元系统 HS 可分性概率的猜想为 $\frac{860}{6561} =\frac{2^2 \cdot 5 \cdot 43}{3^8} \approx 0.1310775$（双重复比特对应值已被证明为 $\frac{29}{64}=\frac{29}{2^6}$）。基于这些猜想，秩-4 与秩-6 概率之比将为 $\frac{59049}{1000000}=\frac{3^{10}}{2^6 \cdot 5^6} \approx 0.059049$，公因子 43 相消。至于中间秩-5 概率，Szarek、Bengtsson 和 Życkowski 的 2006 年定理告知我们它必为秩-6 概率的一半——其本身被猜想为 $\frac{27}{1000} =\frac{3^3}{2^3 \cdot 5^3}$，而根据 Ruskai 和 Werner 的 2009 年结果，秩 3 或更低的关联概率必为 0。这引导我们在这些方面重新检视我们 2005 年的量子比特-量子三元分析，现在发现证据支持 $\frac{70}{2673}=\frac{2 \cdot 5 \cdot 7}{ 3^5 \cdot 11} \approx 0.0261878$ 的秩-4 与秩-6 概率比。