第五类 Painlevé 方程的有理解：广义 Laguerre 多项式

本文讨论第五类 Painlevé 方程的有理解。第五类 Painlevé 方程的有理解有两类，一类用广义 Laguerre 多项式表示（这是本文的主题），另一类用广义 Umemura 多项式表示。广义 Laguerre 多项式和广义 Umemura 多项式均可表示为由特定划分族指定的 Laguerre 多项式的 Wronskian。我们确定了广义 Laguerre 多项式的性质，并发现了各种微分-差分方程和离散方程。第五类 Painlevé 方程、相关的 $\sigma$-方程以及对称第五类 Painlevé 系统的有理解均用广义 Laguerre 多项式表示。我们确立了特殊情形下解的非唯一性，并考虑了一些应用。在论文的第二部分，我们研究了所有参数值下这些多项式的根的结构。发现了通过原点处合并实现的根结构之间的有趣转变，其允许的行为由与该划分相关的钩子数据控制。我们求得了广义 Laguerre 多项式的判别式，并证明其也可用划分数据表示。给出了由单一划分定义的通用 Wronskian Laguerre 多项式系数的显式表达式。