涉及范数的某些 Diophantine 方程的有理解

本文给出了关于由方程 $N_{K/k}(X_{1}+\alpha X_{2}+\alpha^2 X_{3})=f(t)$ 定义的代数簇 $\cal{S}_{f}$ 的无理性的一些结果，其中 $k$ 是数域，$K=k(\alpha)$，$\alpha$ 是不可约多项式 $h(x)=x^3+ax+b\in k[x]$ 的根，且 $f\in k[t]$。我们主要关注纯三次扩张的情形，即 $a=0$ 且 $b\in k\setminus k^{3}$。我们证明了如果 $\op{deg}f=4$ 且簇 $\cal{S}_{f}$ 包含一个 $k$-有理点 $(x_{0},y_{0},z_{0},t_{0})$ 满足 $f(t_{0})\neq 0$，则 $\cal{S}_{f}$ 是 $k$-无理的。对于满足某些温和条件（例如该族包含所有不可约多项式）的一大类五次多项式 $f$，我们也证明了一个类似的结果。此外，对于任何次数为 6 且不等价于满足条件 $h(t)\neq h(\zeta_{3}t)$ 的多项式 $h$ 的多项式 $f$（其中 $\zeta_{3}$ 是本原三次单位根），若 $\cal{S}_{f}$ 含有非平凡 $k$-有理点，则证明了其无理性。对于由多项式 $h(x)=x^3+ax+b\in k[x]$ 的根生成的 3 次扩张，若 $f(t)=t^6+a_{4}t^4+a_{1}t+a_{0}\in k[t]$ 且 $a_{1}a_{4}\neq 0$，我们也能证明相同的结果。