正交群作用下偶次三元型的有理不变量

本文确定了正交群 $\mathrm{O}_3$ 作用于偶次 $2d$ 三元型空间 $\mathbb{R}[x,y,z]_{2d}$ 的最小基数有理不变量生成集。该构造依赖于两个关键要素：一方面，Slice 引理允许我们将问题简化为确定有限符号置换子群 $\mathrm{B}_3$ 作用下的不变量；另一方面，我们的构造从根本上依赖于调和多项式的特定基。这些基提供了具有预定 $\mathrm{B}_3$-等变性质的映射。我们对这些基的显式构造应在本文范围之外也具有相关意义。$\mathrm{B}_3$-不变量的表达式可以作为两个等变映射的复合以紧凑形式给出。我们没有提供（繁琐的）$\mathrm{O}_3$-不变量的显式表达式，而是提供了用于其评估和重写的高效算法。我们还利用构造出的 $\mathrm{B}_3$-不变量来确定 $\mathrm{O}_3$-轨道轨迹，并提供了一种算法来解决逆问题，即在 $\mathbb{R}[x,y,z]_{2d}$ 中寻找具有预定不变量值的元素。这些都是脑成像中相关的计算问题。