欧氏首达渗流的比率收敛速率：在图无穷 Laplacian 上的应用

本文证明了在连通性阈值处长度尺度下，图无穷 Laplace 方程的首个定量收敛速率。在基于图的半监督学习领域中，该方程也称为 Lipschitz 学习。图无穷 Laplace 方程由底层空间上的度量刻画，收敛速率由图距离的收敛速率得出。在连通性阈值处，该问题与欧氏首达渗流相关，后者关注于 $\mathbb{R}^d$ 上齐次泊松点过程的距离函数 $d_{h}(x,y)$，其中容许路径的步长至多 $h>0$。利用距离函数的适当正则化与次可加性，我们证明 ${d_{h_s}(0,se_1)}/ s \to \sigma$ 当 $s\to\infty$ 时几乎必然成立，其中 $\sigma \geq 1$ 为维数常数且 $h_s\gtrsim \log(s)^\frac{1}{d}$。由于当 $h_s\to \infty$ 时缺乏近似超可加性，收敛速率不可得。作为替代，我们证明当 $h$ 冻结且不依赖于 $s$ 时，比率 $\frac{d_{h}(0,se_1)}{d_{h}(0,2se_1)}\to \frac{1}{2}$ 的收敛速率。结合我们在（Bungert, Calder, Roith, IMA Journal of Numerical Analysis, 2022）中发展的技术，我们表明该比率收敛概念足以在渗流长度尺度下建立图无穷 Laplace 方程解的一致收敛速率。