长程依赖Toeplitz协方差的比率一致估计及其在矩阵数据白化中的应用

我们考虑来自具有可分协方差函数的多元平稳过程的数据矩阵 $X:=C_N^{1/2}ZR_M^{1/2}$，其中 $C_N$ 是一个 $N\times N$ 半正定矩阵，$Z$ 是一个由不相关标准化白噪声构成的 $N\times M$ 随机矩阵，$R_M$ 是一个 $M\times M$ 的 Toeplitz 矩阵。在长程依赖（LRD）的假设下，我们重新考察了用于估计 $R_M$ 的两个 Toeplitz 化估计量 $\hat R_M$（无偏）和 $\hat R_M^b$（有偏）的一致性；已知当过程为短程依赖（SRD）时，它们在范数意义下与 $R_M$ 一致。然而在 LRD 情形下，一些模拟表明范数一致性对两个估计量一般而言并不成立。相反，我们对无偏估计量 $\hat R_M$ 建立了更弱的“比率一致性”，并对有偏估计量 $\hat R_M^b$ 建立了更弱的“比率 LSD 一致性”。主要结果导出了对原始数据矩阵 $X$ 的一致白化过程，并进一步应用于两个真实问题：一个是信号检测问题，另一个是对空间协方差 $C_N$ 进行 PCA 以实现降噪与数据压缩。