样本高效的Toeplitz协方差估计

我们研究了在$d$维向量上的分布$\mathcal{D}$的协方差矩阵$T$的估计样本复杂度,假设$T$为Toeplitz矩阵。该假设出现在许多信号处理问题中,其中任意两次测量间的协方差仅依赖于测量间的时间或距离。我们关注于可能仅选择查看每个向量样本$x \sim \mathcal{D}$中部分元素的估计策略,这在从无线信号处理到先进成像的应用中通常等同于降低硬件与通信需求。我们的目标是同时最小化:1) 从$\mathcal{D}$抽取的向量样本数,以及2) 每个样本中被访问的元素数。我们提供了一些首批利用$T$的Toeplitz结构在这些样本复杂度度量上的非渐近界,并由此显著改进了针对一般协方差矩阵的结果。我们的界源于对经典且广泛使用的估计算法(及一些新变体)的新颖分析,包括基于所谓稀疏尺(sparse ruler)从每个向量样本选取元素的方法。在许多情况下,我们的上界配以匹配或近乎匹配的下界。除对任意Toeplitz矩阵$T$成立的结果外,我们进一步研究了$T$接近低秩的重要情形,这在实际中常见。我们表明基于稀疏尺的方法在此情形下表现更优,样本复杂度随$d$呈亚线性缩放。受此发现启发,我们开发了一种新的协方差估计策略,在低秩情形下进一步改进了所有现有方法:当$T$为秩-$k$或近秩-$k$时,其样本复杂度关于$k$多项式依赖,而仅关于$d$对数依赖。