含单个异常值的独立正态变量的秩分布

Thurstone的潜在正态模型一个世纪前被引入心理测量学以描述人类偏好（1927年），至今仍是随机排名建模的基石。然而，当基础正态分布不同时，秩的联合分布$R_{i}:=\sum_{j=1}^{n}\mathbf{1}_{X_{j}\leq X_{i}}$几乎未被探索。我们研究最简单的非同分布情况：$n+1$个独立正态变量，其中$X_{0}\sim\mathcal{N}\left(\mu_{0},\,\sigma_{0}^{2}\right)$，对于$1\leq i\leq n$有$X_{i}\sim\mathcal{N}\left(\mu,\,\sigma^{2}\right)$。这里，$R_0 \mid X_0 \;\sim\; 1 + \mathrm{Binomial}\bigl(n,\;\Phi\bigl(\bigl(X_0 - \mu\bigr)\big/\sigma\bigr)\bigr)$，且成功概率$\Phi\bigl(\bigl(X_0 - \mu\bigr)\big/\sigma\bigr)$可由beta分布精确建模。利用beta-二项共轭性，我们观察到$R_{0}-1$服从beta-二项分布，从而得到$\left(R_{0},R_{i_{1}},\ldots,R_{i_{m}}\right)$联合分布的精确近似。我们推导了$\mathbb{E}R_{i}$、$\mathrm{Cov}\left(R_{i},R_{j}\right)$的闭式表达式，以及当关键参数变大或变小时$\left(R_{0},R_{i_{1}},\ldots,R_{i_{m}}\right)$的极限分布。