模超矩阵的秩公理：与定向 DR 次模函数的联系

矩阵拟阵自 Whitney 作为线性独立的抽象引入以来，已成为最重要的组合结构之一。作为拟阵的重要性质，它可由若干不同（但等价）的公理刻画，如扩张公理、基交换公理或秩公理。超矩阵拟阵是定义在格上的拟阵的推广。核心问题在于超矩阵拟阵是否能像拟阵一样由若干等价公理刻画。Barnabei、Nicoletti 和 Pezzoli 刻画了分配格上的超矩阵拟阵，Fujishige、Koshevoy 和 Sano 将结果推广至 cg-拟阵（下局部分配格上的超矩阵拟阵）。本研究关注分配格的重要超类——模格，并给出模格上超矩阵拟阵的等价刻画。我们利用秩公理刻画模格上的超矩阵拟阵，其中秩函数是一种定向 DR-次模函数，即作者所引入的次模函数的推广。基于秩函数的刻画，我们进一步证明了超矩阵拟阵的强交换性质，该性质在优化中有应用。我们还揭示了下半模格上超矩阵拟阵公理之间的关系，下半模格是下局部分配格与模格的共同超类。