超快速增长函数的随机拟蒙特卡洛与重要性采样及其在金融中的应用

许多问题可以表述为高维不连续函数的积分，这些函数表现出显著的边界增长，对随机拟蒙特卡洛（RQMC）方法的误差分析和应用构成挑战。本文研究了满足广义指数增长条件的超快速增长函数的 RQMC 方法，重点关注金融衍生品定价。本文的主要贡献有三方面。第一，通过将 RQMC 与重要性采样（IS）相结合，我们推导了一类被积函数的新误差界，其值和导数由临界增长函数 $e^{A|\boldsymbol{x}|^2}$（$A = 1/2$）界定。该结果扩展了文献中现有结果，后者仅限于 $A < 1/2$ 的情形。我们证明，通过对 IS 的提议分布施加轻尾条件，RQMC 可以以样本量 $n$ 和任意小 $\epsilon > 0$ 达到 $O(n^{-1 + \epsilon})$ 的误差率。第二，我们验证了最优漂移重要性采样（ODIS）中使用的高斯提议满足所需的轻尾条件，为临界增长场景下的 RQMC-ODIS 提供了严格的理论保证。第三，对于金融中的不连续被积函数，我们证明预积分后的被积函数满足指数增长条件。这确保预积分函数可以无缝纳入我们的 RQMC-IS 框架。金融衍生品定价的数值实验验证了我们的理论，表明结合预积分的 RQMC-IS 在处理不连续收益问题时有效，成功达到了预期的收敛速率。