欧几里得格子的随机燃烧

图的燃烧数是燃尽该图所有顶点所需的最少步骤,其燃烧过程如下:在每一步中,可以选择一个点设火,火沿图的边以恒定的单位速度传播。在本文中,我们考虑离散欧几里得环面 $\mathbb{T}_n^d$ 上的两种自然随机燃烧过程,其中每一步我们设火的点是随机变量。在我们的主要结果涉及的情况中,每一步在已知过去的条件下,设火的新点的分布是燃烧前顶点集的均匀分布。在这种情况下,我们证明当 $n\to\infty$ 时,相应的随机燃烧数(即整个环面被燃尽的第一步)以概率渐近等于 $T\cdot n^{d/(d+1)}$ ,其中 $T=T(d)\in(0,\infty)$ 是所谓广义布拉斯乌斯方程的爆炸时间。