燃烧平面:无限笛卡尔网格的密度

图燃烧是图上的一种离散时间过程,其中顶点被依次点燃,且已燃顶点随时间导致其邻点燃烧。我们考虑在底层图也于每个时间步发生变化的全新设定下该过程的极值性质。主要关注点为当底层图序列为笛卡尔平面中以原点为中心的渐扩网格时,已燃顶点的可能密度。若网格在时刻 $n$ 的高与宽为 $2cn+1$,则已燃集的所有可能密度取值位于 $\left [ \frac{1}{2c^2} , 1 \right ]$ 内。对于增长更快的网格,我们展示了一种阈值行为:若时刻 $n$ 的网格尺寸为 $\omega(n^{3/2})$,则已燃顶点密度恒为 $0$;而当网格尺寸为 $\Theta(n^{3/2})$ 时,则可能取得正密度。我们还考虑了向任意但固定维数格点的一些推广。