具有指定特征与丢番图维数的拟有限域

设 $\mathbb{P}$ 为素数集合，$\overline {\mathbb{P}}$ 为 $\mathbb{P} \cup \{0\}$，对任意域 $E$，令 char$(E)$ 为其特征，ddim$(E)$ 为 $E$ 的丢番图维数，$\mathcal{G}_{E}$ 为 $E$ 的绝对伽罗瓦群，cd$(\mathcal{G}_{E})$ 为 $\mathcal{G}_{E}$ 的伽罗瓦上同调维数。本文的研究受限于 cd$(\mathcal{G}_{E}) \le {\rm ddim}(E)$ 这一开放问题所推动。它证明了拟有限域 $\Phi _{q}\colon q \in \mathbb{P}$ 的存在性，其中对每个 $q$ 有 ddim$(\Phi _{q})$ 为无穷且 char$(\Phi _{q}) = q$。它表明对任意整数 $m > 0$ 与 $q \in \overline {\mathbb{P}}$，存在一个拟有限域 $\Phi _{m,q}$ 使得 char$(\Phi _{m,q}) = q$ 且 ddim$(\Phi _{m,q}) = m$。这被用于证明：对任意 $q \in \overline {\mathbb{P}}$ 及每对满足 $k \le \ell$ 的 $k$, $\ell \in (\mathbb{N} \cup \{0, \infty \})$，存在域 $E _{k, \ell ; q}$ 使得 char$(E _{k, \ell ; q}) = q$、ddim$(E _{k, \ell ; q}) = \ell$ 且 cd$(\mathcal{G}_{E_{k, \ell ; q}}) = k$。最后，我们表明除 $k = 0 \neq \ell$ 外，域 $E _{k, \ell ; q}$ 可选为完备域。