横向磁场下管道流中的准二维扰动

受 Moresco 与 Alboussière (2004, J. Fluid Mech.) 实验启发，我们研究矩形绝缘管道中液态金属流在稳态均匀横向磁场下的稳定性。洛伦兹力倾向于消除沿磁场方向的速度变化，导致准二维基流，在垂直于磁场的壁面附近形成哈特曼边界层，在平行于磁场的壁面附近形成舍克利夫层。由于洛伦兹力也强烈阻碍沿磁场方向有依赖的扰动增长，我们用 Sommeria 与 Moreau (1982, J. Fluid Mech.) 的模型——一个计入哈特曼层效应的带线性摩擦的二维浅水模型——来表示流动。该模型的简洁性使得有可能在广泛参数范围内研究准二维扰动的稳定性与瞬态增长，直至高磁场极限，此时基于舍克利夫层厚度的雷诺数 $Re/H^{1/2}$ 成为唯一相关参数。托尔明–施利希廷波是最线性不稳定模态，并在 $H \gtrsim 42$ 时有另一不稳定模态。流动在 $Re/H^{1/2}\gtrsim 48350$ 时线性不稳定，在 $Re/H^{1/2}\lesssim 65.32$ 时能量稳定。在这两界限之间，非模态准二维扰动经历显著瞬态增长（比纯二维泊肃叶流情形高 2 至 7 倍，且对应更亚临界的 $Re$ 值）。在高磁场极限下，该瞬态增长的最大增益 $G_{max}$ 随 $G_{max} \sim (Re/Re_c)^{2/3}$ 变化，并在流向波数与线性稳定性临界波数同量级时于时间 $t_{Gmax}\sim(Re/Re_c)^{1/3}$ 达到。