低磁普朗特数下自由表面哈特曼流的大波长不稳定性

我们研究了在重力和均匀磁场作用下，粘性导电流体在平面固定板上的流动的线性稳定性。我们首先确认了磁流体动力学的 Squire 变换与自由表面处的应力和绝缘边界条件相容，但认为除非流动是在固定的伽利略数和毛细管数下驱动的，否则临界模式不一定是二维的。然后，我们数值研究了法向于流动的磁场以及相关的哈特曼稳态如何影响自由表面流的软和硬不稳定性模式，工作在实验室流体的低磁普朗特数范围内。由于它是一种临界层不稳定性，发现硬模式在弱磁普朗特数对其中性稳定曲线的影响以及其临界雷诺数 $Re_c$ 对哈特曼数 $Ha$ 的依赖性方面，表现出与通道哈特曼流中的偶不稳定模式相似的行为。相比之下，软模式的增长率等值线在 $(Re, \alpha)$ 平面（其中 $\alpha$ 是波数）中的结构，在具有小但非零 $Pm$ 的问题与其在无感应极限中的对应问题之间存在显著差异。正如从大波长近似推导出并经数值确认的那样，在无感应问题中，软模式的临界雷诺数随 $Ha$ 呈指数增长。然而，当 $Pm$ 非零时，源自稳态电流的洛伦兹力导致 $Re_c(Ha)$ 分别修改为 $Ha$ 的亚线性增加或减少函数，分别对应绝缘壁和导电壁的问题。在前者中，我们还观察到成对的阿尔芬波，其中向上游传播的波在大阿尔芬数下经历不稳定性。