几何局域浅层量子电路输出概率的拟多项式时间近似

我们提出一种经典算法，对于任意作用于 $n$ 个量子比特上的三维几何局域、多对数深度量子电路 $C$，以及任意比特串 $x\in\{0,1\}^n$，该算法能在拟多项式时间内将量 $|< x |C|0^{\otimes n}>|^2$ 计算到任意逆多项式加性误差范围内。已知将此同一量计算到 $2^{-n^2}$ 加性误差内是 $\#P$ 困难的 [Mov20, KMM21]。此前已知最好的算法对此问题使用 $O(2^{n^{1/3}}\text{poly}(1/\epsilon))$ 时间将概率计算到加性误差 $\epsilon$ 内 [BGM20]。值得注意的是，[BGM20] 一文包含了一个针对此估计任务限于二维电路的优雅多项式时间算法，其新颖地利用了专门为该电路二维几何定制的的一维矩阵乘积态（MPS）。令人惊讶的是，尚不清楚是否可能将这种 MPS 的使用扩展到以多项式时间处理三维电路的情况。这提出了一个自然的问题：三维问题的计算复杂度是否可能远高于二维问题。在本文中，我们通过给出三维情形的拟多项式时间算法来解答此问题。为了克服已知技术所遇到的障碍，我们不得不采用一种新方法。我们的算法具有分治结构，展示了如何通过若干同类型问题的实例来近似所需量，每个实例涉及约原始量子比特数一半的三维局域电路。该划分步骤随后被递归应用，将原始量表示为越来越小的三维局域量子电路的加权组合。一个核心的技术挑战是控制由此产生的不同电路“片段”之间可能存在的纠缠所引发关联。