量子粒子错位的盒子（或：有限维近似的危险）

在对无限维量子系统的单位时间演化进行数值模拟时，通常会将哈密顿量 $H$ 视为“无限维矩阵”，通过在希尔伯特空间中表达一些正交基来实现，然后对其进行截断至某些有限维数。然而，由截断哈密顿量生成的薛定谔方程解通常不会收敛到对应实际哈密顿量的薛定谔方程解。本文在温和假设下演示了这些解会收敛到由特定哈密顿量生成的薛定谔方程解，该哈密顿量关键性地取决于所选的基：即将 $H$ 限制到基元素有限线性组合空间的 Friedrichs 延拓。重要的是，这通常与 $H$ 本身不同；在所有此类情况下，数值模拟不可避免地会在极限下再现错误的动力学，而除非有解析解进行比较，否则没有任何数值测试可以揭示这一失败。作为此类结果的实际演示，我们考虑盒中量子粒子，展示了对于广泛的基（包括将幂尔斯多极多项式作为具体示例）中的所有基，由截断哈密顿量生成的动力学总是收敛于对应盒中粒子、狄利克雷边界条件的动力学， regardless of the initial choice of boundary conditions。其他此类示例也被讨论。