量子可积系统与等离子体共振的集中

我们关注当 $d \geq 3$ 时表面等离子体共振（SPR）的定量数学理解。SPR 是负与正介电常数材料界面处导电电子的共振振荡，并构成诸多超材料前沿应用的基础。近来发现 SPR 因曲率效应而集中。本文中，我们导出静态与准静态情形下高曲率处 SPR 集中更尖锐且更明确的刻画。该研究可归结为分析所谓 Neumann-Poincar\'e（NP）算子的几何结构，它们是位于界面边界上的某些伪微分算子。我们提出研究由 NP 算子定义的矩映射给出的一个积分系统的联合 Hamiltonian 流。通过考虑 Heisenberg 图景并将联合流提升为联合波传播子，我们在此可积系统叶状结构的每一叶上建立了更一般的量子遍历性版本，并由此可用于建立所需的 SPR 集中结果。本文发展的数学框架利用了量化的 Heisenberg 图景，并通过推广量子遍历性概念扩展了量子可积系统的若干结果，其本身亦可为谱理论与位势理论所独立关注。