多项式层级的量子推广及其在 QMA(2) 中的应用

多项式时间层级（$\mathrm{PH}$）已被证明是计算复杂性理论中提供分离的有力工具（在 $\mathrm{PH}$ 不坍缩等标准猜想下）。本文研究 $\mathrm{PH}$ 的两种量子推广是否能在量子设定下类似地证明分离。第一种推广 $\mathrm{QCPH}$ 使用经典证明，第二种推广 $\mathrm{QPH}$ 使用量子证明。对于前者，我们证明了 Karp-Lipton 定理与 Toda 定理的量子变体。对于后者，我们利用椭球法高效求解半定规划，将其第三层 $\mathrm{Q} \Sigma_3$ 归入 $\mathrm{NEXP}$。这些结果对 $\mathrm{QMA}(2)$——即具有两个非纠缠证明的 Quantum Merlin-Arthur（$\mathrm{QMA}$）变体，一个其刻画已被证明十分困难的复杂性类——产生了两点推论。第一，若 $\mathrm{QCPH} = \mathrm{QPH}$（即交替量词足够强大以使经典证明与量子证明“等价”），则 $\mathrm{QMA}(2)$ 属于计数层级（具体而言，属于 $\mathrm{P}^{\mathrm{PP}^{\mathrm{PP}}}$）。第二，除非 $\mathrm{QMA}(2)={\mathrm{Q} \Sigma_3}$（即交替量词在存在“非纠缠”时无济于事），否则 $\mathrm{QMA}(2)$ 严格包含于 $\mathrm{NEXP}$。