量子傅里叶采样的威力

由 Terhal 和 DiVincenzo 以及 Bremner、Jozsa 和 Shepherd 开创的一系列工作表明，量子计算机能够高效地从某些概率分布中采样，而这些分布在经典计算机上无法被精确高效地采样，除非多项式层级（PH）坍缩。Aaronson 和 Arkhipov 进一步推进了这一方向，他们考虑了一种可通过线性光学量子计算高效采样的分布，并在两个可行的猜想下证明，该分布甚至无法在有限总变差距离内被经典近似采样，除非 PH 坍缩。在本工作中，我们利用量子傅里叶采样（Quantum Fourier Sampling）构造了一类可由量子计算机采样的分布。随后我们论证，在 Aaronson 和 Arkhipov 猜想的变体下，这些分布同样无法被经典近似采样，除非 PH 坍缩。特别地，我们展示了一类通用的量子可采样分布，其中每一个都基于一个“可高效指定”的多项式，对于这类分布，一个经典近似采样器意味着一个平均情况下的近似。这类多项式包含积和式（Permanent），但也包括例如哈密顿回路多项式（Hamiltonian Cycle polynomial）以及许多其他熟悉的 #P 难多项式。尽管我们的构造与 Aaronson 和 Arkhipov 提出的方案不同，可能需要一台通用量子计算机，但我们能够利用这种额外的能力来弱化证明近似采样困难性结果所需的猜想。