二维库仑气体中涡旋涨落的定量界与整值高斯自由场的最大值

在本文中，我们研究涡旋对二维系统（如库仑气体、Villain 模型或整值高斯自由场）涨落的影响。对于二维 Villain 模型，我们证明由涡旋引起的涨落至少与自旋波产生的涨落同阶。当 $\beta>1$ 时，我们在 $\mathbb{Z}^2$ 上获得如下两点关联函数的定量上界 $$\langle\sigma_x \sigma_y\rangle_{\beta}^{Villain} \leq C \, \left( \frac 1 {\|x-y\|_2}\right)^{\frac 1 {2\pi \beta}\left ( 1+\beta e^{-\frac{(2\pi)^2}{2} \beta}\right )}$$ 该证明完全是非微扰的。此外，它提供了一种新的、算法上高效的采样二维库仑气体的方法。对于二维库仑气体，我们在高逆温度下获得其涨落的如下下界 $$\mathbb{E}_\beta^{Coul}[\langle \Delta^{-1}q, g\rangle] \geq \exp(-\pi^2 \beta + o(\beta)) \langle g,(-\Delta)^{-1}g \rangle$$ 该估计与基于 [JKKN77] 中重整化群（RG）分析的预测一致，并表明逆温度为 $\beta$ 时的库仑势 $\Delta^{-1}q$ 应尺度化如逆温度量级为 $\exp(\pi^2 \beta)$ 的高斯自由场。最后，我们通过一个对偶恒等式将上述涡旋涨落转移到整值 GFF，证明它的最大值以定量方式偏离通常 GFF 的最大值。更精确地，我们证明当 $\beta>1$ 时以高概率有 $$\max_{x\in [-n,n]^2} \Psi_n(x) \leq \sqrt{\frac{2\beta}{\pi} \big(1 - \beta e^{- \frac{(2\pi)^2\beta} {2} } \big)} \log n \, .$$ 其中 $\Psi_n$ 是盒子 $[-n,n]^2$ 中逆温度为 $\beta^{-1}$ 的整值 GFF。我们也考虑了库仑气体、Villain 模型和整值 GFF 的自由能的应用。