射影空间的二次-二次特殊双有理变换

通过研究过一般点 $z\in Z$ 的直线簇 $\mathcal L_z\subset\p^{r-1}$，来考察由二次超曲面定义的特殊双有理变换 $\Phi:\p^r\da Z$。当 $Z$ 为 Grassmann 直线簇、或 10 维旋量簇、或 $E_6$-簇时，获得了分类结果。在二次-二次变换的特殊情形下，我们将 Ein 和 Shepherd-Barron 基于 Zak 的 Severi 簇分类所得的著名分类，推广到更广泛的素 Fano 流形 $Z$ 类。结合这两方面的结果，我们得到了由二次超曲面定义、到（线性截面）有理齐次簇（不同于射影空间和二次超曲面）的特殊双有理变换 $\Phi:\p^r\da Z$ 的分类。