Q-系统、堆、路径与簇正性

我们考虑将 $A_r$ 的 $Q$-系统关联的簇代数作为将 $Q$-系统解与所有可能的初始数据集联系起来的工具。我们证明了 $Q$-系统的守恒量是带有权重的特定目标图上硬粒子的配分函数，其中权重由初始数据的选择决定。这使我们能够将 $Q$-系统的最简解解释为这些目标图上 Viennot 堆的生成函数，等价地解释为合适对偶目标图上加权路径的生成函数。这些生成函数采取有限连分数的形式。在此设定下，簇突变对应于分数的局部重排，且不改变其最终值。最后，$Q$-系统的一般解被解释为目标格点上强不相交格点路径族的配分函数。这将所有簇变量表示为任何初始数据的显正洛朗多项式，从而证明了 $A_r$ $Q$-系统的簇正性猜想。我们还给出了关于带缺陷的变形阿兹特克钻石骨牌密铺的替代表述。